[Зачет 88] Левая и правая производные, необходимое и достаточное условия существования производной. Бесконечная производная.

Левая и правая производные, необходимое и достаточное условия существования производной. 

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности x₀.

Правой производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при Δx→+0, т.е. Δx→0, Δx > 0, и обозначается символом f ^'(x₀+0):

Левой производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения Δy к приращению аргумента Δx при Δx→−0, т.е. Δx→0, Δx < 0, и обозначается символом f ^'(x₀−0):

.

Необходимые и достаточные

Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При D x<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит,

lim_D x® 0-0D y/D x =-3, lim_D x® 0+0D y/D x = 3. Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.
Бесконечная производная.