Теорема о производной сложной функции.
Теорема о производной обратной функции.
1.5. Производная сложной функции
Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x))
Теорема 4. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'u, u'x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'x = y'u u'x.
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем
Теорема доказана.
Теорема о производной обратной функции.
1.6. Производная обратной функции
Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y).
Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и 
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).
Тогда получаем
Теорема доказана.
