[Зачет 68] Определение базиса на плоскости и в пространстве, координаты вектора в базисе. Определение аффинной системы координат, координатных осей и координатных плоскостей. Понятия радиус-вектора точки и координат точки в системе координат.

Определение базиса на плоскости и в пространстве, координаты вектора в базисе. 

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов a и b. Векторы a и b называются базисными векторами.


Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы называются базисными.

Пусть в пространстве задан базис . Построим прямые , содержащие базисные векторы  соответственно. Без ограничения общности можно считать, что эти прямые пересекаются в одной точке (в противном случае можно было взять любые пересекающиеся в одной точке прямые , параллельные прямым  соответственно, поскольку проекции вектора на параллельные прямые равны. Тогда любой вектор  можно однозначно представить в виде суммы своих проекций: , где  — векторы, принадлежащие прямым  соответственно (см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции  по базисам на соответствующих прямых (см. разд.1.3.1), находим: . Подставляя эти разложения в равенство , получаем

(1.4)

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5 (о разложении вектора по базису в пространстве). Любой вектор  может быть разложен по базису  в пространстве, т.е. представлен в виде (1.4), где числа определяются однозначно.

Коэффициенты  в разложении (1.4) называются координатами вектора  относительно базиса  (число , называют абсциссой,  — ординатой, а  — аппликатой вектора ). Например, числа  являются координатами вектора  ( — абсцисса,  — ордината,  — аппликата вектора ).

Базисные векторы , отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером.

Если система векторов e₁, ..., e_n n-мерного линейного пространства L_n образует базис в L_n, то любой вектор x из L_n может быть представлен в виде

x = С₁·e₁+ С₂·e₂+ ...+ С_n· e_n.

Выражение x = С₁·e₁+ С₂·e₂+ ...+ С_n· e_n называется разложением вектора по базису e₁, ..., e_n, а числа С₁, С₂, ..., С_n называются координатами вектора x  в базисе e₁, ..., e_n.

Координаты вектора принято обозначать тем же символом, что и сам вектор:

x = x₁·e₁+ x₂·e₂+ ...+ x_n· e_n.

Взаимно однозначное соответствие x = x₁·e₁+ x₂·e₂+ ...+ x_n· e_n ⇐⇒ x = (x₁, x₂, ..., x_n)

— изоморфизм L_n и R_n.

ПРИМЕР

ЗАДАЧА 426 Найти координаты вектора x{1,10,10} в

Найти координаты вектора x{1,10,10} в базисе E1, E2, E3, если он задан в базисе e1, e2, e3.
Смотреть решение...

Определение аффинной системы координат, координатных осей и координатных плоскостей. 

Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве

Пусть в пространстве фиксирована точка . Совокупность точки  и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат:

– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) - это точка  и ненулевой вектор  на прямой (базис на прямой);

– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) - это точка  и два неколпинеарных вектора , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);

– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) - это точка  и три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).

Точка  называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями:  — ось абсцисс,  — ось ординат,  — ось аппликат. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называютсякоординатными плоскостями.

Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.

---

Координаты векторов и точек в аффинной системе координат

Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).

Для любой точки  в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор  начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой  (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки .

Координатами точки  в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора  в базисе , т.е. коэффициенты  в разложении  (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде  и  согласно разложениям  (рис.2.1,6),  (рис.2.1,а). Координаты точки , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора  представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

 в пространстве,  на плоскости.

Найдем координаты вектора  с началом в точке  и концом в точке . Рассмотрим треугольник  (рис.2.2). Радиус-векторы  и  представляются в виде , . По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем , т.е. вектор  имеет координаты . Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.

Понятия радиус-вектора точки и координат точки в системе координат.

Радиус-вектор точки - это называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Рис. 17

Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x₁ и y₁ точки В или координаты x₂ и y₂ точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

Но можно определить положение точки и по-другому, а именно с помощью радиус-вектора. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В - это конец ее радиус-вектора r₁, а положение точки С - это конец ее радиус-вектора r₂. Этот способ определения положения точки с помощью ее радиус-вектора называется векторным способом.

Эти способы эквивалентны друг другу. Покажем это. Найдем проекции радиус-вектора r₁ точки В на координатные оси. Напомню, чтобы найти проекцию вектора на ось нужно из координаты конца вектора вычесть координату его начала. Тогда

r_1x = x₁ − 0 = x₁,

r_1y = y₁ − 0 = y₁.

Аналогично для проекций радиус-вектора r₂ точки С:

r_2x = x₂ − 0 = x₂,

r_2y = y₂ − 0 = y₂. Таким образом, проекции радиус-векторов точек являются координатами этих точек (рис. 18).

Рис. 18

На практике применяются как координатный, так и векторный способы. Более того, при решении многих задач их применяют совместно, что является мощным методом решения, поскольку он позволяет использовать единый подход для решения совершенно разных задач.