[Физика билет 6] Поступательное и вращательное движения твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Мгновенная ось вращения. Качение без проскальзывания. Связь линейных и угловых кинематических величин при вращении твердого тела.

Поступательное и вращательное движения твердого тела.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым и параллельным траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.


При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.


Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.

Мгновенная ось вращения.

Прямая проходящая через точки тела, скорости которых в рассматриваемый момент времени равны нулю называется мгновенной осью вращения.

Качение без проскальзывания. 

Скорость нижней точки колеса, относительно поверхности Vа = 0

Связь линейных и угловых кинематических величин при вращении твердого тела.

[Физика билет 5] Равномерное движение точки по окружности. Угловое перемещение, угловая скорость, период и частота обращения, их единицы. Связь между линейной и угловой скоростью. Угловое ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения Движение точки по криволинейной траектории. Радиус кривизны. Зависимость углового перемещения и угловой скорости от времени при постоянном угловом ускорении.

Тут все есть

еще можно посмотреть тут, но это не обязательно

[Физика билет 4] Свободное падение. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Уравнения движения и графики x(t), y(t), vx(t), vy(t), ax(t), ay(t). Уравнение траектории y(x). Максимальная высота, время и дальность полета.

Свободное падение.

Свобо́дное падéние — равноускоренное движение, под действием силы тяжести. На поверхности Земли, на уровне моря, ускорение свободного падения меняется от 9,81 м/с² на полюсах до 9,78 м/с² на экваторе.


Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Уравнения движения и графики x(t), y(t), vx(t), vy(t), ax(t), ay(t)

Уравнение траектории y(x). Максимальная высота, время и дальность полета.

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны а_х = 0, а_у = -g.

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

,

где  – начальная скорость, α – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты  (рис. 1) Тогда

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета: 

.

(2)

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t₀. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

.

(3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

.

(4)

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:

и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:

.

Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания α и его функции – здесь просто константы, т.е. постоянные числа.

[Физика билет 3] Плоское движение материальной точки. Равнопеременное движение.

Плоское движение материальной точки.

Плоское движение — движение плоского тела, при котором все точки тела движутся в некоторой фиксированной плоскости пространства, условно считаемой неподвижной


Равнопеременное движение.

Равнопеременным движением (равноускоренным или равнозамедленным) называется такое движение, при котором модуль скорости за любые равные интервалы времени изменяется (увеличивается или уменьшается) на равную величину.

[Физика билет 2] Ускорение, единицы измерения ускорения. Прямолинейное равнопеременное движение. Уравнения движения и графики x(t), vx(t), ax(t), s(t) для прямолинейного равнопеременного движения.

Ускорение, единицы измерения ускорения.

Ускорение - характеристика степени неравномерности движения; определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

a=(v1-v0)/t  [м/c^2]

Прямолинейное равнопеременное движение.

Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.



Уравнения движения и графики x(t), vx(t), ax(t), s(t) для прямолинейного равнопеременного движения.

Ox: x(t)=x0 + vx0*t+ (ax*t^2) / 2

vx(t) = vx0 + ax*t

Графическое представление равноускоренного прямолинейного движения
График скорости                                                                                                                                                                                                                   Для построения этого графика на оси абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат — скорость (проекцию скорости) тела. В равноускоренном движении скорость тела с течением времени изменяется. Если тело движется вдоль оси Ох, зависимость его скорости от времени выражается формулами        vx=v0x+axt и vx=at (при v0x = 0).

Из этих формул видно, что зависимость vх от t линейная, следовательно, графиком скорости является прямая линия. Если тело движется с некоторой начальной скоростью, эта прямая пересекает ось ординат в точке v0x. Если же начальная скорость тела равна нулю, график скорости проходит через начало координат.                                                                                                      

Графики скорости прямолинейного равноускоренного движения изображены на рис. 9. На этом рисунке графики     1 и 2 соответствуют движению с положительной проекцией ускорения на ось Ох (скорость увеличивается), а график 3 соответствует движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость уменьшается). График 2 соответствует движению без начальной скорости, а графики 1 и 3 — движению с начальной скоростью vox. Угол наклона a графика к оси абсцисс зависит от ускорения движения тела. Как видно из рис. 10 и формулы (1.10),    tga=(vx-v0x)/t=ax.

По графикам скорости можно определить путь, пройденный телом за промежуток времени t. Для этого определим площадь трапеции и треугольника, закрашенных на рис. 11.

В выбранном масштабе одно основание трапеции численно равно модулю проекции начальной скорости v0x тела, а другое ее основание — модулю прокции его скорости vх в момент времени t. Высота трапеции численно равна длительности промежутка времени t. Площадь трапеции  S=(v0x+vx)/2t.

Использовав формулу (1.11), после преобразований находим, что площадь трапеции
S=v0xt+at2/2.

Правая часть последнего равенства представляет собой выражение, определяющее путь, пройденный телом. Следовательно, путь, пройденный в прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью, численно равен площади трапеции, ограниченной графиком скорости, осями координат и ординатой, соответствующей значению скорости тела в момент времени t.

В выбранном масштабе высота треугольника (рис. 11,б) численно равна модулю проекции скорости vх тела в момент времени t, а основание треугольника численно равно длительности промежутка времени t. Площадь треугольника S=vxt/2.

Использовав формулу 1.12, после преобразований находим, что площадь треугольника    S= at2/2.

Правая часть последнего равенства представляет собой выражение, определяющее путь, пройденный телом. Следовательно, путь, пройденный в прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, численно равен площади треугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и ординатой, соответствующей скорости тела в момент времени t.
График зависимости координаты от времени (график движения)

Для построения этого графика на оси абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат — координату движущегося тела.

Пусть тело движется равноускоренно в положительном направлении Ох выбранной системы координат. Тогда уравнение движения тела имеет вид (1.16):
x=x0+v0x·t+axt2/2.

Выражению (1.16) соответствует известная из курса математики функциональная зависимость у=ах2+bх+с (квадратный трехчлен). В рассматриваемом нами случае     a=|ax|/2, b=|v0x|, c=|x0|.

Как известно, графиком этой зависимости является парабола, ветви которой направлены вверх, если a>0, или вниз, если а<0.

Вершина этой параболы находится в точке, абсцисса которой х=-b/2a, а ордината у=c-b2/4a.
В рассматриваемом нами случае     x=-|v0x|/|ax|, y=|x0|-|v0x2|/2|ax|.

Как видно из этих формул, при движении тела без начальной скорости (v0x=0) вершина этой параболы находится в точке х= x0. График зависимости от времени координаты тела, движущегося равноускоренно без начальной скорости в положительном направлении оси Ох, изображен на рис. 12.

График пути

Для того чтобы построить этот график, на оси абсцисс откладывают время, а на оси ординат — длину пути, пройденного телом.
В равноускоренном прямолинейном движении зависимость пути от времени выражается формулами
s=v0t+at2/2, s= at2/2 (при v0=0).

Как видно из данных формул, эта зависимость квадратичная. Из обеих формул следует также, что s = 0 при t = 0. Следовательно, графиком пути прямолинейного равноускоренного движения является ветвь параболы. На рис. 13 показан график пути при v0 =0.

[Физика билет 1] Система отсчета. Траектория, путь и перемещение. Материальная точка. Средняя скорость. Относительность движения. Закон сложения скоростей в классической механике. Прямолинейное равномерное движение. Уравнения движения и графики x(t), vx(t), s(t) для равномерного прямолинейного движения.

Система отсчета.

Система отсчёта — это совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение (или равновесие) каких-либо материальных точек или тел


Траектория, путь и перемещение.

Вектор перемещения - вектор начальная точка которого совпадает  с начальным положением движущейся точки и конец вектора с ее конечным положением.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве (прямолинейная или криволинейная).

Путь точки – сумма длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый участок времени.


Материальная точка.

Материа́льная то́чка  — тело, обладающее массой и скоростью, но размеры и формы которого в условиях данной задачи существенного значения не имеют.

Средняя скорость.

Сре́дняя ско́рость движущейся точки за промежуток времени t - векторная величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени за которое это перемещение произошло.


Средняя (путевая) скорость

Средняя скорость по перемещению (средневекторная)

Относительность движения.

Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта.


Закон сложения скоростей в классической механике.

Vабс= Vотн + Vпер


Абсолютная скорость материальной точки равна векторной сумме переносной и относительной скорости.

Прямолинейное равномерное движение.

Прямолинейное равномерное движение — движения  с постоянной по модулю и направлению скоростью.

Уравнения движения и графики x(t), vx(t), s(t) для равномерного прямолинейного движения.

уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки:

(17)

или

Формулы равномерного прямолинейного движения

= const	= const
	S = v (t – t0)

Графики зависимости скорости, проекции скорости,пути и координаты от времени для равномерного прямолинейного движения

График скорости v = v(t)

Рис. 22

 = const
График скорости равномерного движения – прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси t).
По графику v = v(t) можно найти пройденный путь за интервал времени t: он численно равен площади фигуры ОАВС (прямоугольника):
q (площадь прямоугольника OABC) = OA • OC  v₁ • t₁  S
График пути S = S(t)

Рис. 23

S = v • t, где v = const
График пути равномерного движения – прямая линия, которая образует угол  с осью времени.
На этом графике , но   v ~ tg (скорость равномерного движения пропорциональна тангенсу угла , который график пути составляет с осью времени).
График зависимости координаты точки от времени: x = x(t)
Уравнение x = x₀ + v_x (t – t₀) – линейная функция, поэтому график x = x(t) – прямая линия, которая образует угол  с осью времени.

Рис. 24

Рис. 25

На графике x = x(t): , где   v ~ tg.