Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

Инвариантность формы дифференциала. 

Формула дифференциала функции имеет вид

,

где  - дифференциал  независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где , . Тогда по формуле производной сложной функции находим

,

так как .

Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной  и для промежуточного аргумента , представляющего собой дифференцируемую функцию от .

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала. Заметим, что производная этим свойством не обладает.

Применение дифференциала к приближённым вычислениям (Примеры).

Приращение  функции  представимо в виде:

где функция  является б.м. функцией при стремлении аргумента  к нулю. Так как , то

В силу того, что второе слагаемое  является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример

Задание. Вычислить приближенно  , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке  . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины  и  выбираются так, чтобы в точке  можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а  было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что  , то есть , .

Вычислим значение функции  в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Тогда

Итак,

Ответ. 

Задание.	С помощью дифференциала вычислить приближенно
Решение.	Для вычисления данного значения применим формулу из теории Введем в рассмотрение функцию , а заданную величину представим в виде  , тогда Вычислим Подставляя все в формулу, окончательно получим
Ответ.