ФизМат: Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

понедельник, 9 декабря 2013 г.

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (

, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где

- направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М₀(x₀, y₀, z₀), М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂), не лежащие на одной прямой, имеет вид

Параметрическое уравнение.Так же, как для прямой, условие (5.3.1) может быть переписано в виде

r = r₀ + up₁ + v₂, u, v ∈ R, (5.3.3)

или, в координатной форме, в системе координат Oxyz

(5.3.4)

Уравнения (5.3.3), (5.3.4) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах.

Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

Предложение 11.1 Пусть плоскость $\Pi$ задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние $\rho$ от точки до плоскости $\Pi$ определяется по формуле

$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

(11.7)

Доказательство. Расстояние от точки

до плоскости $\Pi$ -- это, по определению, длина перпендикуляра

, опущенного из точки

на плоскость $\Pi$ (рис. 11.9).

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

Вектор $\overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $\Pi$ параллельны, то есть угол ${\varphi}$ между ними равен 0 или $\pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

$\displaystyle \vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert=\vert{\bf n}\vert\vert\overrightarrow {KM_0}\vert\vert\cos{\varphi}\vert=\vert{\bf n}\vert\rho.$

Откуда

$\displaystyle \rho=\frac{\vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert}{\vert{\bf n}\vert}.$

(11.8)

Координаты точки

, которые нам неизвестны, обозначим $x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $\overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как ${{\bf n}=(A;B;C)}$ , то ${{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1).$

(11.9)

Точка

лежит на плоскости $\Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: ${Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что ${Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим ${{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как ${\vert{\bf n}\vert= \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).

понедельник, 9 декабря 2013 г.

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости (с доказательством).

понедельник, 9 декабря 2013 г.