ФизМат: Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Асимптоты графика функции.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.

Вертикальная асимптота — прямая вида $~x = a$ при условии существования предела $\lim_{x \to a}f(x)= \infty$ .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

$\lim_{x \to a-0}f(x)= +- \infty$
$\lim_{x \to a+0}f(x)= -+\infty$

Горизонтальная асимптота — прямая вида $~y = a$ при условии существования предела

$\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a$ .

Наклонная асимптота — прямая вида $~y=kx+b$ при условии существования пределов

$\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
$\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$

Общая схема исследования функции и построения её графика.

При решении этой задачи находят:

1) область определения функции;

2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;

3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;

4) находят асимптоты;

5) критические точки и интервалы монотонности;

6) точки перегиба и интервалы выпуклости.

Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0.

Завершают исследование функции построением ее графика.

Пример 19. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. 1) Функция у = определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥).

2) x=1 – точка разрыва функции.

Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:

f (x) = = +¥,

f (x) = = +¥, так как при х®1 знаменатель дроби является положительной бесконечно малой.

===+¥;

===–¥.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).

4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные асимптоты:

k==== = 1, т.е. k =1;

b = ( f (x)– kx) == = = = == = = =2,

т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.

Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.

5) Найдем производную функции: y' = =

= = = .

Приравнивая y' к нулю, получим x³–3x²=0, откуда имеем критические точки x₁=0, x₂=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 их=1.

Определим знаки y' = в указанных интервалах.

Таким образом, в интервале (–¥;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ¥) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) === 6,75.

6) Найдем вторую производную:

y''=== ==

==, y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)⁴>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.

Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба f (x) имеет значение f (0)=0.

Результаты наших исследований объединим в таблицу.

x	(–¥,0)	0	(0,1)	1	(1,3)	3	(3,+¥)
y'	+	0	+		–	0	+
y''	–	0	+		+		+
y	äÇ	точка перегиба	Èä	не существует	æÈ	min	Èä

Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат.

Рис.41

вторник, 3 декабря 2013 г.

Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

вторник, 3 декабря 2013 г.