Вычисления определённых интегралов: замена переменной.

 Вычисления определённых интегралов: замена переменной.

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если

1) 

2)  и  непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то

(5)

Доказательство. Пусть –первообразная для функции, то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(I)

Покажем, что функция  является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0  при x=ln2 

=