Вторая производная. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Вторая производная. 

Так как, производная f '(x) функции у=f(x) сама является некоторой функцией аргумента x, то можно говорить о существование и нахождение производной от нее.

Если функция  дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают : 

Выпуклость графика функции. 

Пусть функция f(x) дифференцируема на (a;b), тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M (x, f(x)) этого графика (a<x; x<b)

График функции y=f(x) имеет на (a;b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной графика функции на (a;b).

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка 

График 3.2.3.1. Выпуклая вверх функция

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого 

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого 

Так, вторая производная функции  равна  откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке  и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если  – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке  Если  меняет знак при переходе через точку  то  – точка перегиба функции f (x).

Если   то  – точка перегиба функции f (x).