Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом (с доказательством). Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом (с доказательством). 

Если в определенном интеграле  изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: .

Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: 

Доказательство. По определению производной

 где  [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где  

Тогдаследует из определения непрерывной функции, т.к. при  . Таким образом, 

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом  является первообразной для функции .

Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

Теорема. Если  – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но  – также первообразная для, а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых . Положим :  Но , поэтому ,. Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим  Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница: 

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком  оси Ox).

Пример2.