Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Дифференцируемость функции в точке. 

Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство 

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A .

Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Теорема

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство

Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx  и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. 

Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣  непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке. 

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.