Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой (с доказательством)

Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. 

  Общее уравнение 

Ax + By + C ( > 0).

     Вектор  = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде:  + С = 0, где  - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x  =  l t  +  x 0
	y  =  m t  +  y 0

где (

x

₀, 

y

₀) - координаты точки лежащей на прямой, 

{l

, 

m}

 - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 

где  - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь  - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если  и произвольно, если C = 0.

Расстояние от точки до прямой (с доказательством)

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если задано уравнение прямой A

x

 + B

y

 + C = 0, то расстояние от точки M(M

x

, M

y

) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d  =	|A·M x  + B·M y  + C|
	(A2 + B2)1/2

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:
       (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.