Распадающиеся уравнения. Равносильность систем. Система-следствие.

Распадающиеся уравнения.

Равносильность систем.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают (в том числе, системы уравнений, не имеющие решений, считаются равносильными).

Обозначение.      

         Если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы уравнений (множество решений первой системы уравнений является подмножеством решений второй системы уравнений), то вторая система уравнений называется следствием  первой системы уравнений.

Обозначение.      

         Таким образом, две системы уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является следствием другой.

Теорема 1.  Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим систему уравнений, равносильную данной.

Теорема 2.  Если из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных (выражение, содержащее неизвестные) через другие неизвестные и подставить в остальные уравнения системы, то получим систему уравнений, равносильную данной.

Теорема 3.  Если одно из уравнений системы заменить алгебраической суммой уравнений этой системы, то получим систему уравнений, равносильную данной.

Система-следствие.