ФизМат: [Билет 4] Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 4] Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

Упорядоченные пары.

Упорядоченной парой называется объект вида (a, b), который состоит из 2 не обязательно разных элементов и в котором определено какой из этих элементов первый, а какой второй.

Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А x В. Таким образом А x В = {(x;y) | x принадлеж A, y принадлеж B}.

Определение 1.3. Множество всех кортежей длины

на множествах $A_1,\ldots,A_n$ называют декартовым (прямым) произведением множеств $A_1,\ldots,A_n$ и обозначают $A_1\times\ldots\times A_n$ .

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А x В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству АxВ, если
А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение АxВ={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.

Свойства

1) $A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C)$ ;
2) $A\times (B\cap C)= (A\times B)\cap (A\times C)$ ;
3) $A\times \varnothing= \varnothing\times A= \varnothing$ .

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если $(x,y)\in A\times (B\cup C)$ , то $x\in A$ и $y\in B\cup C$ . Из того, что $y\in B\cup C$ , следует $y\in B$ или $y\in C$ . Если $y\in B$ , то $(x,y)\in A\times B$ , а если $y\in C$ , то $(x,y)\in A\times C$ . Итак, $(x,y)\in A\times B$ или $(x,y)\in A\times C$ , то есть $(x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$ . Следовательно,

$A\times (B\cup C)\subseteq (A\times B)\cup (A\times C).$

вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 4] Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

вторник, 11 декабря 2012 г.