[Билет 25] Свойства и график квадратичной функции. Формулы координат вершины параболы. Исследование графика квадратного трёхчлена в зависимости от его коэффициентов.

Свойства и график квадратичной функции.

y = ax² + bx + c, где a 0.
График квадратичной функции - парабола. 

Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a
и дискриминанта D = b² - 4ac. 

a > 0, D > 0	a > 0, D = 0	a > 0, D < 0
a < 0, D > 0	a < 0, D = 0	a < 0, D < 0

РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

1. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА:
   
2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
   при D > 0 y = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
   при D = 0 y = ax² + bx + c = a(x - x₁)²
   при D < 0: разложить на множители нельзя

СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

• ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R


• ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
  при a > 0 [-D/(4a);)
  при a < 0 (-;-D/(4a)]
• ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
  при b = 0, то функция четная
  при b  0, то функция ни четная, ни нечетная
• НУЛИ:
  при D > 0 два нуля: 
  
  при D = 0 один нуль: x₁ = -b/(2a)
  при D < 0 нулей нет
• ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
  
  
  если a > 0, D = 0, то y > 0 при x  (-;x₁)U(x₁;)
  
  если a > 0, D < 0, то y > 0 при x  R
  
  
  
  если a < 0, D = 0, то y < 0 при x  (-;x₁)U(x₁;)
  
  если a < 0, D < 0, то y < 0 при x  R
  
• ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
  
  
  
  
• ЭКСТРЕМУМЫ:
  
  при a > 0 x_min = -b/(2a) y_min = -D/(4a)
  
  при a < 0 x_max = -b/(2a) y_max = -D/(4a) 

Формулы координат вершины параболы.

 где 

Исследование графика квадратного трёхчлена в зависимости от его коэффициентов.


A: направление ветвей. Если A>0 - вверх, A<0 - вниз

С: пересечение с OY - (0; C)

B:  положение вершины

слева от OY: -B/2A<0, тогда A>0 и В>0, или A<0 и B<0

справа от OY: -B/2A>0, то А>0 и B<0, или A<0 and B>0