Неопределяемые понятия и аксиомы стереометрии.
Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Аксиома 2. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
Аксиома 3. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.
Аксиома 4. Если прямая проходит через 2 точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.
Определение. Прямая и плоскость, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися.
Аксиома 5. Если две плоскости имеют общую точку, то и пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.
Определение. Две плоскости, имеющие общую точку, называются пересекающимися.
Аксиома 6. Любая плоскость
разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам разделены плоскостью ; b) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью .
Аксиома 7. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.
Простейшие следствия из аксиом.
Теорема 1. Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Аксиома 2. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
Аксиома 3. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.
Аксиома 4. Если прямая проходит через 2 точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.
Определение. Прямая и плоскость, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися.
Аксиома 5. Если две плоскости имеют общую точку, то и пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.
Определение. Две плоскости, имеющие общую точку, называются пересекающимися.
Аксиома 6. Любая плоскость
разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам разделены плоскостью ; b) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью .Аксиома 7. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.
Простейшие следствия из аксиом.
Теорема 1. Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
