[Физика билет 16] Абсолютно твердое тело. Вращение твердого тела вокруг закрепленной оси. Векторное произведение. Момент силы. Плечо силы. Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. Кинетическая энергия вращения.

Абсолютно твердое тело.

Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.

Вращение твердого тела вокруг закрепленной оси.

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Под абсолютно твердым телом понимают такое, у которого остаются неизменными расстояния между любыми его точками. Такое тело не может испытывать деформаций.При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов.

Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа. Этим единственным числом может быть, например, угол φ , на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое.

При вращении тела вокруг неподвижной оси угол φ меняется с течением времени.

Угловая скорость. Угловая скорость w вращающегося тела – это быстрота изменения угла поворота φ (t) вокруг оси :

w = lim Δ φ / Δ t = dφ /dt

D t ® 0

Обычно угол измеряется в радианах, время – в секундах, угловая скорость – в радианах в секунду.

Отметим важный факт: так как при вращении тела все точки тела за одно и то же время поворачиваются на один и тот же угол, то угловая скорость вращения любой точки тела одна и та же. Поэтому обычно говорят не об угловой скорости какой-то конкретной точки тела, а об угловой скорости тела вообще.

Если за малый промежуток времени Δ t тело повернется вокруг оси на угол Δ φ , то точка тела, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние Δ s = R Δ φ . Разделив обе части последнего уравнения на Δ t, получим соотношение между величиной линейной скорости V точки и угловой скоростью w вращения:

D s/ Δ t = R Δ φ / Δ t

или

V = Rw

Видно, что линейная скорость точек тела при вращении, в отличие от угловой скорости, различна и зависит от радиуса окружности.

Угловое ускорение. Если тело вращается равномерно, т.е. с постоянной угловой скоростью w , то каждая точка тела движется также с постоянной по величине линейной скоростью по окружности своего радиуса. Если вращение неравномерное, т.е. угловая скорость меняется со временем (увеличивается или уменьшается), то вводят величину, характеризующую быстроту ее изменения – угловое ускорение:

b = lim Δ w / Δ t = dw /dt

D t ® 0

Если Δ w > 0, то угловая скорость возрастает, угловое ускорение положительно; при

D w < 0 угловая скорость убывает и угловое ускорение отрицательно.

Частный случай вращения – вращение с постоянным угловым ускорением – равноускоренное или равнозамедленное вращение:

b = const

В этом случае угловая скорость вращения меняется по закону: w (t) = w _o + b (t – t_o), где w _o – начальная угловая скорость в момент времени t_o. Если t_o = 0, то

w (t) = w _o + b t

Угол поворота φ в момент времени t в этом случае будет равен:

j (t) = φ _o + w _o (t – t_o) + b (t – t_o)²/2 .

При t_o = 0 имеем:

φ(t) = φ_o + w_ot + bt² / 2

Здесь φ _o – угол поворота в начальный момент времени.

Качение. Рассмотрим колесо радиуса R, катящееся по горизонтальной поверхности. Можно считать, что колесо участвует одновременно в двух движениях: поступательном со скоростью V_о своего центра О и вращательном с угловой скоростью w . Таким образом, скорость любой точки колеса V есть векторная сумма скоростей поступательного и вращательного движений (см. рис.). Скорость поступательного движения всех точек колеса одна и та же и по величине , и по направлению и равна V_о. Угловая скорость w вращения вокруг центра колеса тоже одна и та же, линейная же скорость вращательного движения V_вращ зависит от расстояния до центра r :

V_вращ = rЧ w

и направлена по касательной к окружности – в верхней точке А колеса она совпадает по направлению со скоростью поступательного движения V_о, в точках B и D она прпендикулярна V_о, в центре колеса (в точке С) она равна нулю, в нижней точке О (точке, которая касается в данный момент времени горизонтальной поверхности) она направлена против V_о. Скорость результирующего движения V верхней точки А будет равна

V_о + V_вращ,

точек B и D -

(V_о² + V_вращ²)^1/2,

центра колеса (точки С) – только V_о , нижней точки О -

(V_о - V_вращ).

В случае качения без проскальзывания нижняя точка колеса О должна находиться в покое относительно горизонтальной поверхности. Отсюда следует , что для этой точки:

V_о - V_вращ = 0 или V_о = V_вращ = Rw , где R – радиус колеса.

Тогда: w = V_о / R

соотношение, позволяющее связать угловую скорость вращения колеса и скорость поступательного движения при качении. Отметим еще раз, что это справедливо лишь для случая качения без проскальзывания!

Момент силы.

Момент силы — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Плечо силы.

Плечо силы относительно точки (в механике), кратчайшее расстояние от данной точки (центра) до линии действия силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы

Момент инерции.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения.

В инерциальной системе отсчета угловое ускорение E, приобретаемое телом, вращающимся вокруг неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту Мвнеш. всех внешних сил, действующих на тело и обратно пропорционально моменту инерции J тела относительно данной оси.

E = Mвнеш. / J

Кинетическая энергия вращения.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т₁, т₂ ,..., т_n , находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i, и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

                                                                      (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела