[Билет 31] Дробно-рациональная функция. Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Дробно-рациональная функция.


Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой
,
где  и  – целые числа, , , коэффициенты многочленов – действительные числа, , .


Правильная и простейшие рациональные дроби.

Рациональной дробью называется выражение вида , где ,–многочлены степеней n и m соответственно.

Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае –неправильной.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

где A, B, C, a, p, q–числа, 

Теорема о представлении рациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби.

Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени  и правильной дроби: , ; нахождение целой части  и остатка  может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что   - правильная дробь.


Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Для простых (правильных) дробей с действительными коэффициентами справедлива следующая теорема о разложении на сумму простейших:

Пусть (1) — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

Источник