[Билет 11] Свойства графиков чётных и нечётных функций. Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях

 Свойства графиков чётных и нечётных функций.

Функция у = f (х) называется четной, если при всех значениях х из области определения этой функции

f (— х) = f (х).

Функция у = f (x) называется нечетной, если при всех значениях х из области определения этой функции

f (— х) = — f (х).

Свойство. Функция является четной тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно оси .

Свойство. Функция является нечетной тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно точки 

Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях.

Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

Док-во:
a) f(-x) = f(x), g(-x) = g(x)
S(x)=f(x)+g(x)
S(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=S(x)

b) f(-x) = -f(x), g(-x)=-g(x)
T(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = - (f(x)+g(x)) = - T(x)

Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Для доказательств: 

Определение операций с функциями
(f + g)(x) = f(x) + g(x)        Сложение 
(f - g)(x) = f(x) - g(x)        Вычитание 
(f.g)(x) = f(x).g(x)        Умножение 
(f/g)(x) = f(x)/g(x)        Деление

Теорема 1. Если функция у =f(х). xX является четной, то ее

график симметричен относительно оси ординат.

Пусть М (х; f(x)) - точка графика рассматриваемой функции. Так как по условию функция четна, то, во-первых, (—х)Х, и во-вторых,f(—х)=f(х). Значит, точка М'(—х; f(x)) также принадлежит графику функции. Но точки M и М' симметричны относительно оси ординат. Таким образом, график четной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную с ней относительно оси ординат. Поэтому график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Теорема 2. Если функция у =f(х), хХ является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.