ФизМат: [Билет 3] Операции разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 3] Операции разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

Операции разности и дополнения множеств, их свойства.

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между универсальным множеством U и множеством A называется дополнением множества A в U и обозначается A (c палочкой вверху)

Свойства разности:

Пусть $A,\;B,\;C,\;D$ — произвольные множества.

Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

$A\setminus A=\varnothing.$

Свойства пустого множества относительно разности:

$\varnothing\setminus A=\varnothing;$

$A\setminus\varnothing=A.$

Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

$A\setminus B\subset A.$

$A\cup(B\setminus A)=A\cup B$ . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
$A\setminus B=A\setminus(A\cap B).$
Разность не пересекается с вычитаемым:

$A\cap(B\setminus A)=\varnothing.$

Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

$A\setminus B=\varnothing\Leftrightarrow A\subset B.$

Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

$A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C);$

$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C).$

$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C);$
$A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C);$
$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap(C\setminus A);$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A$ , если $C\cap A=\varnothing$ .
Если $A\subset B$ и $C\subset D$ , то $(A\setminus D)\subset(B\setminus C);$
Если $A\subset B$ , то для любого $C$ выполняется $(C\setminus B)\subset(C\setminus A)$ . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если $a\leqslant b$ , то для любого $c$ справедливо $(c-b)\leqslant(c-a)$ .