[Билет 33] Корень n-й степени из числа. Алгебраический и арифметический корни. Функция √

Корень n-й степени из числа.


Определение корня. Безусловно, все так или иначе знакомы с интуитивным понятием квадратного корня - это такое число, квадрат которого равен a. Аналогично определяется корень n-й степени из числа a, где n - положительное число.

Определение. Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a.

Согласно данному определению корень n-й степени из числа а - это решение уравнения xn=a. Число корней этого уравнения зависит от n и от а.

 Рассмотрим функцию f(x)=x^n. Как известно, на промежутке [0; ∞) эта функция при любом n возрастает и принимает все значения промежутка [0; inf). По теореме о корне уравнение xn=a для любого а, принадлежащего промежутку [0; ∞), имеет неотрицательный корень и только один. Его называют арифметическим корнем n-й степени из числа n и обозначают n√a Число n называют показателем корня, а само число a - подкоренным выражением. Знак корня √ так же называют радикалом.


Алгебраический и арифметический корни.

Арифметическим корнем  n–й степени из неотрицательного числа  a называется неотрицательное число,  n–я степень которого равна  a .

Алгебраическим корнем  n–й степени из данного числа называется множество всех корней из этого числа. Алгебраический корень чётной степени имеет два значения:  положительное и отрицательное, например:

Функция √

Квадратный корень из числа a — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a, то есть решение уравнения x² = aотносительно переменной x

Квадратный корень как элементарная функция

График функции y=x 

Квадратным корнем называют также функцию x  вещественной переменной x, которая каждому x0 ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Эта функция является частным случаем степенной функции x с a=21.
Эта функция является гладкой при x > 0 , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Свойства функции y=x 

• Область определения - луч [о;+) .
  Это следует из, того что выражение x  определено лишь при x0 .
• Функция y=x  ни четна, ни нечетна.
• Функция y=x  возрастает на луче [о;+) .

Свойства функции y=3x 

• Область определения функции y=3x  - вся числовая прямая
• Функция y=3x  нечетна, так как 3−x=−3x .
• Функция y=3x  возрастает на всей числовой прямой.

Функция y=nx .

• При четном n функция y=nx  обладает теми же свойствами, что и функция y=x  и график ее напоминает график функции y=x .
• При нечетном n функция y=nx  обладает теми же свойствами. что и функция y=3x , и график ее напоминает график функции y=3x .

Степенная функция с положительным дробным показателем.

Степенная функция с положительным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x^r, где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x^r:

• Область определения - луч [о;+) .
• Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
• Функция y = x^r возрастает на [о;+) .

На пример график функции y = x^5/2, заключен между графиками функций y = x² и y = x³, заданных на промежутке
[о;+) .
Подобный вид имеет любой график функции вида y = x^r, где r > 1, а график любой степенной функции y = x^r, где 0< r <1 имеет вид похожий на график y = x^2/3.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x ^{- r},
где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x ^{- r}:

• Облать определения - промежуток (о;+) .
• Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
• Функция y = x ^{- r} убывает на (о;+) .
• График функции y = x ^{- r} подобен ветке гиперболы, построенной на положительных значениях аргумента функции.