[Билет 30] Многочлен как функция и его график. Обобщённая теорема Виета.

Многочлен как функция и его график.

Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-2x²+a_n-1x+a_n

Где n - любое натуральное число или 0, а a0, a1, ..., an - какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена. 

Утверждение. Любая непрерывная кривая, имеющая на некотором промежутке a ≤ x ≤ b 
с каждой из прямых, параллельных Oy, в точности одну общую точку, может быть приближенно задана как график функции y= Pn(x), где Pn(x) — многочлен.

Обобщённая теорема Виета.

Пусть х₁; х₂… х_n – корни многочлена

Р(х) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a_n-1x + a_n

тогда

- рациональные корни многочлена

Р(х) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a_n-1x + a_n с целыми коэффициентами имеют вид x = , где m – делитель свободного члена a_n, p – делитель старшего коэффициента a₀

- приведенный многочлен с целыми коэффициентами (a₀ = 1) не может иметь дробных  корней. Целые корни такого многочлена являются делителями его свободного члена.

Пример: