Теорема о "зажатой" последовательности.
Пусть заданы {Xn}, {Yn}, {Zn}, причем Xn<=Yn<=Zn для всех n принадлежащих N и lim Xn = lim Zn = a, тогда lim Yn = a
Достаточное условие сходимости числовой последовательности.
Пусть заданы {Xn}, {Yn}, {Zn}, причем Xn<=Yn<=Zn для всех n принадлежащих N и lim Xn = lim Zn = a, тогда lim Yn = a
Если даны три последовательности an, bn и cn причём lim an=lim cn=b и для всх n выполняется неравенство an <= bn <= cn то и последовательность bn тоже имеет предел, равный b.
Теорема 13. Если монотонная последовательность 
ограничена, то она сходится.
ограничена, то она сходится.
Доказательство. Так как последовательность 
ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю 
и нижнюю 
грани. Пусть 
– неубывающая последовательность и 
– точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа 
можно указать такой элемент 
, что 
и 
. Эти два неравенства равносильны неравенству 
или 
. Так как 
– неубывающая последовательность, то при 
выполняется 
или 
. Это означает, что при 
выполняется 
или 
. Таким образом, 
. Аналогично доказывается случай, когда 
– невозрастающая последовательность.
ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.