Предел числовой последовательности, геометрическая интерпретация, теорема о единственности предела.
Пример:
Геометрическая интерпретация
Начиная с некоторого члена все последующие члены последовательности попадают в окрестности точки a с радиусом E
Теорема о единственности предела
Необходимое условие сходимости (ограниченность).
Теорема. Если последовательность имеет предел то она ограничена.
Док-во:
Пусть lim an =a, E=1, тогда вне окрестности (a-1;a+1) находится конечное число элементов a1, a1...an
m = min{a1,...ak; a-1}
M = max{a1..ak; a+1}
m<=an<=M для всех n из N, значит последовательность {an} - ограничена
Замечание. Сходимость означает ограниченность, но ограниченность не означает сходимость.
Пример:
ЗАДАЧА 391 Вычислить предел числовой
Вычислить предел числовой последовательности Смотреть решение...Геометрическая интерпретация
Начиная с некоторого члена все последующие члены последовательности попадают в окрестности точки a с радиусом E
Определение: Последовательность может иметь только один предел.
Доказательство: Предположим противное, т.е. пусть последовательность {xn} такая, что
limn→∞xn=a и limn→∞xn=b и a <> b.
Тогда поскольку число a – предел последовательности, то должно выполняться неравенство:
| xn - a| < ε и | xn - b| < ε
Очевидно, что между двумя неравными числами (a <> b) находится бесконечно много других чисел. Поэтому всегда можно выбрать такое число ε > 0, что ε-окрестность точки a не будет пересекаться с ε-окрестностью точки b.
(a – ε, a + ε) (b – ε, b + ε ) = (пустое_множество)
Поскольку число a является пределом последовательности {xn}, то начиная с некоторого номера n > N все члены этой последовательности попадут в ε-окрестность точки a , а вне этой окрестности может оказаться только конечное число членов: x1, x2…xn. Но тогда в ε-окрестность точки b может попасть только что-то из чисел x1, x2…xn и не больше, а это противоречит тому, что число b предел {xn} (Если b– предел, то в ε-окрестность точки b должно попадать не меньше, чем в ε-окрестность точки a). Следовательно, предположение о том, что a<> b не верно. Из этого следует, что a = b, а значит, предел единственен. Что и требовалось доказать.
Теорема. Если последовательность имеет предел то она ограничена.
Док-во:
Пусть lim an =a, E=1, тогда вне окрестности (a-1;a+1) находится конечное число элементов a1, a1...an
m = min{a1,...ak; a-1}
M = max{a1..ak; a+1}
m<=an<=M для всех n из N, значит последовательность {an} - ограничена
Замечание. Сходимость означает ограниченность, но ограниченность не означает сходимость.
