четверг, 14 февраля 2013 г.

1) Числовая последовательность, способы ее задания. Возрастающая и убывающая последовательности, монотонные и немонотонные, ограниченные и неограниченные последовательности.

Числовая последовательность, способы ее задания.

Под числовой последовательностью понимается функция заданная xn=f(n) на множестве натуральных чисел.


Способы задания:

1) Общим членом

An=F(n); An=(n^2)+1 ; n принадлежит N

2) Рекуррентным сопсобом

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….


3) Характеристическим свойством


An=0 если n=2k-1; k принадлежит N
An=1 если n=2k

Возрастающая и убывающая последовательности, монотонные и немонотонные, ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого n из мн. натуральных чисел выполняется Xn+1 > Xn (Xn+1 >= Xn) где n принадлежит N


Убывающая если Xn+1 <  Xn  где n принадлежит N

Всякая возрастающая, убывающая, невозрастающая последовательность называется монотонной.

Последовательность {Xn} называется немонотонной, если существует n, k принадлежащие N, такие что Xn+1< Xn; Xk+1>Xk

{Xn} - ограничена сверху, если существует M, такое что для всех n принадлежащих N. Xn <= M

{Xn} - ограничена снизу, если существует M, такое что для всех n принадлежащих N. Xn >= M

{Xn} - не ограничена сверху, если для любого M, существует n принадлежащих N. Xn >M 

{Xn} - не ограничена снизу, если для любого M, существует n принадлежащих N. Xn < M

{Xn} - называется ограниченной если существует положительное число M>0; для любого n принадлежащего N; |Xn| <= M

{Xn} - называется не ограниченной если для любого M>0; существует n принадлежащего N;
|Xn| >= M