Зачет по математике

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

Специализированный учебно-научный центр

ГОУ лицей №1580.

Вопросы к переводному экзамену (часть 1) .

1)      Множества. Способы задания множеств.Характеристическое свойство множеств. Равные множества, подмножества.Универсальное множество. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество.Основные числовые и геометрические множества.

2)      Операции пересечения и объединениямножеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

3)      Операции  разности и дополнения множеств, их свойства.Диаграммы Эйлера-Венна.

4)      Упорядоченные пары. Декартовопроизведение двух и более множеств, его свойства.

5)      Соответствие между множествами.Область определения и множество значений соответствия. Способы заданиясоответствий. Граф и график соответствия.

6)      Виды соответствий. Привести примеры.

7)      Функциональное соответствие(функция), способы задания. Область определения и множество значений функции.

8)      Обратная функция. Критерийобратимости функции. Сложная функция.

9)      Числовые функции, их свойства(монотонность, ограниченность, чётность, периодичность).

10)  Достаточное условие обратимостифункций. Графики взаимно-обратных функций.

11)   Свойства графиков чётных и нечётных функций.Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях.

12)  Период, основной период функции.Теоремы о периодических функциях. Примеры.

13)  Неопределяемые понятия и аксиомыстереометрии. Простейшие следствия из аксиом.

14)  Взаимное расположение двух прямых впространстве. Доказательство признака скрещивающихся прямых.

15)  Взаимное расположение прямой иплоскости в пространстве. Доказательство признака параллельности прямой иплоскости.

16)  Взаимное расположение плоскостей впространстве. Доказательство теоремы о линии пересечения плоскостей, следствия.Теоремы о параллельных плоскостях.

17)  Радианная и градусная меры углов.Тригонометрическая окружность. Соответствия между действительными числами иточками на тригонометрической окружности.

18)   Определение синуса, косинуса, тангенса икотангенса действительного числа. Свойства и графики тригонометрическихфункций.

19)  Основное тригонометрическоетождество. Формулы сложения. Формулы приведения. Тригонометрические формулыдвойного угла, понижения степени и половинного аргумента. Универсальнаятригонометрическая подстановка.

20)   Формулы преобразования суммы (разности)тригонометрических функций в произведение и произведения тригонометрическихфункций в сумму (разность).

21)   Формулы преобразования выражений вида  с помощью дополнительного аргумента.

22)  Линейная функция, её свойства играфик. Общее уравнение прямой на плоскости. Признаки параллельности иперпендикулярности прямых на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через двезаданные точки. Угол между заданными прямыми. Пучок прямых.

23)  Понятие модуля числа и модулявыражения. Уравнения и неравенства с модулем, основные равносильные переходы.

24)  Квадратичная функция. Выделениеполного квадрата. Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия ихсуществования. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратноготрёхчлена на линейные множители.

25)   Свойства и график квадратичной функции.Формулы координат вершины параболы. Исследование графика квадратного трёхчленав зависимости от его коэффициентов.

26)  Необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена относительно заданного числа. ТУТ

27)  Определение многочлена. Степеньмногочлена. Операции сложения и умножения многочленов. Корень многочлена.Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённыхкоэффициентов).

28)  Теорема Безу и её следствия. СхемаГорнера. Понятие кратности корня многочлена.

29)  Теорема о целых и рациональных корняхмногочлена с целыми коэффициентами и их применение (примеры).

30)  Многочлен как функция и его график.Обобщённая теорема Виета.

31)  Дробно-рациональная функция.Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлениирациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби. Разложение правильнойрациональной дроби в сумму простейших дробей.

32)  Степень с целым показателем.Степенная функция с натуральным и целым показателями, свойства и графики.

33)  Корень n-й степени из числа. Алгебраический иарифметический корни. Функция

34)  Степень с рациональным показателем,её свойства. Степень с иррациональным показателем. Показательная функция.

35)  Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойство логарифмов. Формулы по логарифмам.

ТУТ 1

ТУТ 2

ТУТ 3

36)  Логарифмическая функция, её свойства и график.

Вопросы к переводному экзамену (часть 2) .

37)  Понятие угла между параллельными,пересекающимися и скрещивающимися прямыми. Перпендикулярность прямой иплоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. +

38)  Теорема о трёх перпендикулярах. +

39)  Расстояние между фигурами.Доказательство существования и единственности общего перпендикуляра двухскрещивающихся прямых. Доказательство равенства расстояния междускрещивающимися прямыми длине их общего перпендикуляра.+

40)  Доказательство теоремы о площадиортогональной проекции многоугольника.+

41)  Двугранный угол. Линейный уголдвугранного угла. Угол между плоскостями.+

42)  Перпендикулярность плоскостей.Свойства перпендикулярных плоскостей.+

43)  Числовая последовательность, способыеё задания. Возрастающие и убывающие последовательности, монотонные инемонотонные, ограниченные и неограниченные последовательности. +

44)  Арифметическая и геометрическая прогрессии. Определение, свойства, вывод формул для вычисления n-го члена и суммы n первых членов. +

45)  Предел числовой последовательности,геометрическая интерпретация, теорема о единственности предела. Необходимоеусловие сходимости (ограниченность). +

46)  Бесконечно малая последовательность.Теорема о последовательности, её пределе и бесконечно малой последовательности.Теорема о произведении ограниченной и бесконечно малой последовательностей. +

47)  Арифметические теоремы о пределах.+

48)  Бесконечно большаяпоследовательность, её связь с бесконечно малой. ½ 6

49)   Предельный переход в неравенствах. Теорема о «зажатой» последовательности. 2/2 6 + ½ 7 ТУТ и ТУТ

50)   Достаточное условие сходимости числовой последовательности.  2/27

51)  Второй замечательный предел (без доказательства). Привести примеры применения второго замечательного предела.  (Изменено, теперь бездок-ва и новый пункт)

52)  Бесконечно убывающая геометрическаяпрогрессия, её сумма. +

53)  Обратные тригонометрические функции,их свойства и графики.  +

54)  Решение простейших тригонометрическихуравнений.+

55)  Определение предела функции в точкепо Гейне и по Коши,Геометрическая интерпретация предела. Единственностьпредела. +

56)  Бесконечно малые функции. Теорема офункции, её пределе и бесконечно малой функции. Теорема о произведенииограниченной функции на бесконечно малую функцию. +

57)  Арифметические теоремы определах.  +

58)  Понятие односторонних пределов,необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке.

59)  Предел функции на бесконечности.Геометрическая интерпретация предела функции на бесконечности. Бесконечнобольшие функции, их связь с бесконечно малыми.

60)  Основные способы раскрытиянеопределённостей. Примеры. ++++

61)  Теоремы о предельном переходе внеравенствах. Теорема о зажатой функции.+++

62)   Первый замечательный предел, примеры егоприменения.+++

63)  Второй замечательный предел, примеры егоприменения.

64)  Замена переменной в пределе ( теоремао пределе сложной функции). ++

65)  Определение направленного отрезка ивектора в пространстве. Правила сложения векторов. Свойства умножения векторана число. Теорема о компланарных векторах.

66)  Определение линейно зависимой илинейно независимой системы векторов. Доказательство свойств системы линейнозависимых векторов. ++

67)  Геометрический смысл линейнойзависимости двух и трёх векторов. Теорема о разложении вектора по трёмнекомпланарным векторам.

68)  Определение базиса на плоскости и впространстве, координаты вектора в базисе. Определение аффинной системыкоординат, координатных осей и координатных плоскостей. Понятия радиус-вектораточки и координат точки в системе координат.

69)  Координаты суммы, разности векторов ипроизведения вектора на число. Определение угла между векторами в пространстве.

70)  Определение ортонормированного базисаи прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК). Вывод формул длявычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированномбазисе, расстояния между двумя точками.

71)  Определение скалярного произведениявекторов. Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов,заданных своими координатами в ортонормированном базисе. Вычисление косинусаугла между ненулевыми векторами и прямыми. Условие перпендикулярности векторов.

72)  Свойства скалярного произведениявекторов. Проекция вектора на вектор.

73)   Деление отрезка в данном отношении.

74)  Понятия правого и левого базисов.Определение векторного произведения векторов, его свойства.Критерийколлинеарности векторов.

75)  Вывод формулы для вычислениявекторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

76)  Применение векторного произведениявекторов для вычисления площади параллелограмма, треугольникаи выпуклогочетырёхугольника, а также вектора нормали к плоскости.

77)  Определение смешанного произведениятрёх векторов, его свойства и геометрический смысл.

78)  Вычисление смешанного произведениявекторов в ПДСК.

79)  Формулы объёмов параллелепипеда  и тетраэдра и их вывод. Критерийкомпланарностивекторов. ++++++++++

80)  Применение векторного и смешанногопроизведений для вычисления расстояния от точки до плоскости и между скрещивающимисяпрямыми.

81)  Непрерывность функции в точке. Точкиразрыва и их классификация. Скачок. Вертикальные асимптоты.

82)  Арифметические операции наднепрерывными функциями.

83)  Непрерывность элементарных функций.Непрерывность сложной и обратной функций.

84)  Непрерывность функции на отрезке.Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

85)  Определение производной функции вточке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной инормали к графику функции в точке.+++++++

86)   Арифметические теоремы о производных.

87)  Связь непрерывности функции ссуществованием производной.  

88)  Левая и правая производные,необходимое и достаточное условия существования производной. Бесконечнаяпроизводная.

89)  Теорема о производной сложнойфункции. Теорема о производной обратной функции.

90)  Производные элементарных функций (свыводом).

91)  Определение локального экстремумафункции. Основные теоремы дифференциального исчисления.

92)  Доказательство теорем Ферма, Ролля,Лагранжа, Коши.

93)  Признаки локального возрастания и убывания функции. Необходимые идостаточные условия существования экстремума функции в точке.

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедры «Основы математики и информатики:                                                   С.С.Граськин